Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanı nasıl hesaplanır

İki doğrusal olmayan ve sıfır olmayan vektörde, bir paralelkenar oluşturulabilir. Eğer kökenleri bir noktada birleştirirseniz, bu iki vektör paralelkenar ile daralır. Şeklin kenarlarını bitirin.

Kullanım kılavuzu

1

Koordinatları verildiğinde vektörlerin uzunluklarını bulun. Örneğin A vektörü düzlemde koordinatlara (a1, a2) sahip olsun. Daha sonra A vektörünün uzunluğu | A | = √ (a1² + a2²) olur. Benzer şekilde, B vektörü modülünü buluruz: | B | = the (b1² + b2²), burada b1 ve b2, B vektörünün düzlemdeki koordinatlarıdır.

2

Paralelkenar alanı, S = | A | • | B | • sin (A ^ B) formülüyle bulunur; burada A ^ B, verilen A ve B vektörleri arasındaki açıdır. Sinüs, kosinüs yoluyla ana trigonometrik kimlik kullanılarak bulunabilir: sin²α + cos²α = 1. Kosinüs, koordinatlarda yazılan vektörlerin skaler çarpımı olarak ifade edilebilir.

3

A vektörünün B vektörü ile skaler çarpımı (A, B) ile gösterilir. Tanım olarak, (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B) 'ye eşittir. Ve koordinatlarda, skaler ürün şu şekilde yazılır: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Buradan vektörler arasındaki açının kosinüsünü ifade edebiliriz: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Payda, skaler ürün; paydada, vektörlerin uzunlukları.

4

Şimdi sinüsü ana trigonometrik kimlikten ifade edebiliriz: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Vektörler arasındaki α açısının akut olduğunu varsayarsak, sinüs ile eksi atılabilir, sadece artı işareti bırakılır, çünkü akut açının sinüsü sadece pozitif olabilir (veya sıfır açıda sıfır olabilir, ancak burada açı sıfır değildir, bu durumda görüntülenir vektörlerin birbirine bağlı olmaması).

5

Şimdi sinüs formülündeki kosinüs için koordinat ifadesini değiştirmeliyiz. Bundan sonra, sonucu sadece paralelkenar alan formülüne yazmak kalır. Bütün bunlar yapılırsa ve sayısal ifade basitleştirilirse, S = a1 • b2-a2 • b1 olduğu ortaya çıkar. Böylece A (a1, a2) ve B (b1, b2) vektörleri üzerinde oluşturulan paralelkenar alanı S = a1 • b2-a2 • b1 formülüyle bulunur.

6

Elde edilen ekspresyon, A ve B vektörlerinin koordinatlarından oluşan matrisin belirleyicisidir: a1 a2b1 b2.

7

Gerçekten de, ikinci boyuttaki bir matrisin bir determinantını elde etmek için, ana diyagonalin elemanlarını (a1, b2) çarpmak ve yan diyagonalin elemanlarının (a2, b1) çarpımını çıkarmak gerekir.