Dairesel bir segmentin alanı nasıl bulunur?

Yaygın geometrik problemlerden biri, dairesel bir segmentin alanını - bir akor tarafından sınırlanmış bir dairenin ve bir dairenin bir yayınının karşılık gelen akorunun hesaplanmasıdır.

Dairesel segmentin alanı, karşılık gelen dairesel sektörün alanı ile sektörün karşılık gelen segmentinin yarıçapının oluşturduğu üçgenin alanı ile segmenti sınırlayan akor arasındaki farka eşittir.

Örnek 1

Bir daireye büzülen akorun uzunluğu a'nın değerine eşittir. Akora karşılık gelen arkın derece ölçüsü 60 ° 'dir. Dairesel segmentin alanını bulun.

karar

İki yarıçap ve bir akor tarafından oluşturulan bir üçgen ikizkenardır, bu nedenle merkezi açının tepesinden akor tarafından oluşturulan üçgenin yanına çizilen yükseklik, merkezi açının açıortası olacak, akoru yarıya indirecektir. Dik açılı bir üçgen içindeki açının sinüsünün karşı tarafın hipotenusa oranına eşit olduğunu bilerek, yarıçapı hesaplayabiliriz:

Günah 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Sektörün belirli bir açıya karşılık gelen alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Üçgenin sektöre karşılık gelen alanı aşağıdaki gibi hesaplanır:

S 1/2 = 1/2 * ah, burada h, merkezi açının üstünden akorun üstüne çizilen yüksekliktir. Pisagor teoremi ile h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Buna göre, S = = √3 / 4 * a².

Segmentin Sseg = Sc - S ▲ olarak hesaplanan alanı şuna eşittir:

Sseg = ²a² / 6 - √3 / 4 * a²

A yerine sayısal bir değeri değiştirmekle, segment alanının sayısal değerini kolayca hesaplayabilirsiniz.

ÖRNEK 2

Dairenin yarıçapı a'ya eşittir. Segmente karşılık gelen yayın derecesi ölçüsü 60 ° 'dir. Dairesel segmentin alanını bulun.